Ba người đi câu được một số cá. Trời tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông rồi mỗi người tìm một nơi và lăn ra ngủ. Người thứ nhất thức dậy đến bờ sông, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt bớt xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ 2 thức dậy, đến bên bờ sông, tưởng 2 bạn mình còn ngủ, anh ta lại đếm số cá, vứt 1 xuống sông và xách 1/3 về nhà. Người thứ 3 thức dậy, đến bên đống cá, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đếm số cá, xong vứt 1 con, lấy 1/3 mang về. Cho biết họ là 3 chàng đi câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu cá tất cả?

Người ta kể rằng bài toán câu cá trên đây là một bài toán dân gian đã ra trong một kỳ thi HSG Toán nước Anh. Một cậu bé dự thi lúc bấy giờ, tên là Paul Dirac, đã cho một lời giải ngộ nghĩnh bất ngờ.

1. Nghiệm Dirac của bài toán:

Gọi x là số cá câu được, n là số cá còn lại trên bờ sông, ta tính được kết quả: x=1/8(27n + 38) với n=8/3m – 2 và m thuộc B(3)

Vì họ câu tồi nên x phải nhỏ nhất, nghĩa là n nhỏ nhất, cũng tức là m nhỏ nhất: m=0. Từ đó có đáp số: n = -2 và x = -2

Số cá còn lại trên bờ, sau khi cả 3 anh chàng đã lấy phần mình mang về nhà, đúng bằng số cá cả 3 câu được: x = n = -2

Vậy hiểu kết quả này như thế nào?

Cậu bé giải thích: Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy (-2) con cá, không chia hết cho 3, bèn vứt xuống sông thêm 1 con để số cá trở thành (-3); anh ta lấy 1/3 tức là (-1) con, để lại (-2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (-1) con cá về nhà!!!

Thật công bằng vì ai cũng được phần cá như nhau!!!

Dĩ nhiên trên đây chỉ là một lời giải ngộ nghĩnh cho một bài toán cũng ngộ nghĩnh!

2. Số âm và số dương:

Âm và dương đối xứng. Vậy ta thử đổi các nghiệm âm của Dirac ra dương: x = n = +2 và xem thử chúng có ý nghĩa nào không?

Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy có 2 con cá, không chia hết cho 3 bèn câu thêm 1 con từ bờ sông lên để số cá trở thành (+3); anh ta lấy 1/3 tức là (+1) con, để lại (+2) con cho 2 bạn còn đang ngủ. Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (+1) con cá về nhà.

Cũng công bằng vì mỗi người đều được nhận phần cá như nhau!

Như thế, chỉ cần đổi nghiệm Dirac âm ra dương ta sẽ có một lời giải ìnghiêm túc” cho một đề Toán cũng ìnghiêm túc”: đừng vứt cá trở lại xuống sông mà hãy câu thêm cá từ dưới sông lên!

Vậy, đứng trước một bài toán, hãy cố gắng nhìn hết các khía cạnh, tìm cho ra hết các nghiệm, dù rằng sau đó có cái phải loại đi vì tính không phù hợp của nó.

3. Paul Dirac (1902 – 1984):

Nhiều bài toán phổ thông rồi sẽ quên đi. Nhưng bài toán 3 chàng đi câu này sẽ còn được nhắc tới vì nó gắn liền với tên tuổi của một trong số ít những nhà Vật lý – Toán học vĩ đại nhất của thế kỷ XX: Paul Dirac.

Năm, 1926, lúc 24 tuổi, trong khi lập và giải phương trình chuyển động của electron, Dirac nhận thấy có một nghiệm lạ - lại là một nghiệm âm! Lẽ ra phải loại nó đi thì ông cứ suy nghĩ mãi về ý nghĩa của nó, tìm cách lý giải và cuối cùng phát hiện ta sự tồn tại tất yếu của một hạt cơ bản chưa biết: positron – anh em song sinh với electron (thật ra là phản hạt của electron). Mấy năm sau, khoa học mới khám phá ra hạt này với đầy đủ các tính chất đặc trưng mà Dirac đã tiên đoán và mô tả bằng lý thuyết.

Dirac nổi tiếng về những ý tưởng độc đáo, bất ngờ và về những giả thuyết táo bạo trong khoa học: ông nhìn thấy cả những cái hợp lý trong những cái vô lý với mọi người. Ông là một trong số những người sáng lập ra Cơ học lượng tử - nền móng của Vật lý hiện đại, là tác giả của Phương trình Dirac, hàm delta Dirac, thống kê Fermi – Dirac trong Toán học (giải tích hàm) và trong Toán lý, giải Nobel năm 1933.